教學札記 - 正負數加減

正正得正

正負得負

負負得正

對，這是正負數的乘法可以用，但在加減中拿掉括號時也會用到！e.g. +(-2)= -2所以我真的是在講正負數的加減。

這幾句正負數的口袂應該大部份人都背到朗朗上口，大家都是記了這幾句就天下無敵，這樣長大而且學會了。甚至有好些同學在學校教正負數以前就從家教/父母身上學了這個課題，所以我們甚少關注到這些口袂引起的potential confusions。一個錯誤引用例子是：- 3 - 4 ＝＋7 以為負負得正。這就是光用口袂得缺失，學生並不一定知道在甚麼情況下才可以用這一套法則。

每個正負數其實都是由兩個部份組成，第一步份是負號 (sign) 表示方向，第二部份是數字 (有譯作numerical value) 表示量的大小。難攪的地方是明明 3 < 5, 但 如果 - 5 < 3，好像是有兩個標準在運行，我們怎麼都賦予這兩種講法意義呢？

在約定俗成的數線上面（如下圖），負數排在零的左邊，正數排在零的右邊。在數線上數值都是從左至右，由小至大的排列，意即標在數線上較右位置的數都比左邊的大。

例： - 5 在數線上是在 3 的左邊，所以是小於 3

而至於 3 小於 5 這方面又可以在數線上怎樣理解？

我們可以看為跟 0 的距離，就是 vectors 裡的magnitude.

- 5 是位於 0 的左邊，跟 0 有 5 個單位的距離。

3 是位於 0 的右邊，跟 0 有 3 個單位的距離。

在處理正負數的加減的時候，很多課本都為用一個在數線上往前往後移動，又反方向行的類比，看得通得就好，但因為方向跟量的大小都在同一個維度表達，難免學生初學會混淆。

我近來在教一個學生這個課題時，搜尋新靈感的時候看到這一張圖。網頁的主人應該也是一位數學老師 https://donsteward.blogspot.com/2011/03/addingsubtracting-directed-numbers.html

這圖對於我來就當然容易理解，也覺得用顏色代表方向 （正數是紅色，負數是藍色）和圈圈的大小代表量的大小是一個不錯的圖示 (graphical representation)，因為分開了兩個導向。

於是我就用這張圖演繹，配上一些數字的例子，配合數線來加以說明。這樣的表達也有助於relational thinking, 幫助學生思考累積或抵銷的情景。即便沒有數字，學生也可以就著圈的大小判斷結果會是紅/藍的圈圈，而圈的大小相對會是多大。我也即席發揮用了一些類比，這些圈圈讓我想到 happy face and sad faces, 我也用了增加happy faces, 減少happy faces, 增加sad faces, 減少sad faces 來賦予正負數加減比較容易消化的意義，到底這樣是變開心了或是傷心了？

這些都只是這個課題教學的碎片，裡頭還有很多其他的details 需要思考。近來有了一個新的領悟，就像畫作文學等，我們都可能用不同的感知去體會理解新事物，其實小孩子學習知識也是，有時候 they just have their own way to make sense of things 那我就不會硬要向他介紹官方的說法。畢竟理解領悟這種事情也很在乎一個人的 past experience，過往學習的來建構。如果學生能答對 - 6 ＋ 4 ＝ - 2 我會問她是怎樣得出來的，是怎樣理解。雖然這種加減也是有自己的法則，但我會先留著不講出來，看同學自己能不能找出法則來。我明白在師生比例較高的場合是比較難提供老師接近每個學生的機會，只想提出有時候聆聽學生的理解從何建構而來也是對正下藥的好方法。